Основные понятия алгебры логики

                Понятие о логике как науке

Логика – наука, изучающая законы и формы мышления.

 Основные формы абстрактного мышления: понятие, суждение, умозаключение.

 Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов (портфель, трапеция, ураганный ветер).

 Суждение – мысль , в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах. Оно является истинным или ложным повествовательным предложением (Весна наступила и грачи прилетели).

 Умозаключение – приём мышления посредством которого из исходного знания получается новое знание; из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, по определённым правилам вывода получаем заключение (Все металлы –простые вещества. Литий- металл. Следовательно: литий – простое вещество.)

Этапы развития логики

 1-й этап связан с работами учёного и философа Аристотеля (384-322 гг до н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем; изучал правила мышления. Он впервые дал систематическое изложение логики, подверг анализу формы человеческого мышления: понятия, суждения, умозаключения. Так возникла формальная логика.

Формальная логика – наука о законах и формах мышления. Связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком.

 2-й этап связан с работами немецкого учёного и философа Лейбница (1646-1716 гг). Он сделал попытку построить первые логические исчисления. Считал, что простые рассуждения можно заменить действиями со знаком и прив1л соответствующие правила. Так возникла математическая логика.

Математическая логика – наука о логических связях и отношениях, лежащих в основе дедуктивного (логического) вывода. Она изучает суждения для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.

 3-й этап связан с работами Джорджа Буля (1815-1864 гг). Он развил идеи Лейбница. В его работах логика обрела свой алфавит, орфографию и грамматику. Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. Начальный раздел её называют булевой алгеброй или алгеброй логики.

Алгебра логики

Алгебра логики - это математический аппарат, с помощью которого записывают (кодируют), упрощают, вычисляют и преобразовывают логические высказывания.

 Что же такое логическое высказывание?

 Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

 Так, например, предложение "6 — четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение "Рим — столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.

 Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика — интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие "интересный предмет". Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

  Предложения типа "в городе A более миллиона жителей", "у него голубые глаза" не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

 Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным.

 Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не",   "и",   "или",  "если... , то",   "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются   логическими связками.

 Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются   составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются   элементарными.

 Так, например, из элементарных высказываний "Петров — врач", "Петров — шахматист" при помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров — врач и шахматист", понимаемое как "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".

 При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров — врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".

 Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В — высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание   "Тимур летом побывает и на море,  и в горах"   можно кратко записать как     А и В.  Здесь   "и"  — логическая связка,   А,   В   — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения —   "истина"   или   "ложь",  обозначаемые, соответственно,   "1"  и   "0".

 Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

 НЕ    Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием  Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.   Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" ().

 И    Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " ^. " (может также обозначаться знаком &). Высказывание А ^. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание   "10 делится на 2 и 5 больше 3"   истинно, а высказывания     "10 делится на 2 и 5 не больше 3",     "10 не делится на 2 и 5 больше 3",     "10 не делится на 2 и 5 не больше 3"     —   ложны.

 ИЛИ    Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.   Например, высказывание   "10 не делится на 2 или 5 не больше 3"   ложно,     а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3",   "10 делится на 2 или 5 не больше 3",   "10 не делится на 2 или 5 больше 3"     —   истинны.

 ЕСЛИ-ТО   Операция, выражаемая связками   "если ..., то",  "из ... следует",  "... влечет ...",  называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание А  В  ложно тогда и только тогда, когда  А  истинно,  а  В  ложно.

 Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: "данный четырёхугольник — квадрат" (А) и "около данного четырёхугольника можно описать окружность" (В). Рассмотрим составное высказывание  А В   , понимаемое как "если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность". Есть три варианта, когда высказывание  А  В  истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;
2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);
3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка   "если ..., то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию.   Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы",   "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин".

 РАВНОСИЛЬНО   Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно ...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком   или  ~.   Высказывание АВ истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.       Например, высказывания     "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3",    "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3"   истинны,   а высказывания   "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5",   "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3"   ложны.

 Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность.

Импликацию можно выразить через  дизъюнкцию  и  отрицание:

А  В = v В.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А  В = (v В) ^. (v А).

 Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.