Головоломки

http://www.smekalka.pp.ru/math/answer_math_logic_39.htm Машинист (Физические задачи) При отправлении поезда, как правило, машинист сначала немного сдает вагоны назад и лишь затем двигается вперед. Почему он так делает? Ответ: Машинист, осаживая поезд назад, заставляет вагоны упереться буферами друг в друга. Сцепки между вагонами сжимаются. Затем, когда паровоз начинает двигаться вперед, то ему приходится двигать с места не все вагоны сразу, а поочередно, один за другим. Поэтому сдвинуть поезд с места легче.
Про коробки (Последовательности)
По трем коробкам распределены числа от 0 до 14 согласно некоторому принципу. В 1-й коробке числа: 6, 0, 8, 3, 9; во 2-й коробке: 1, 7, 11, 4, 14; и в 3-й коробке: 2, 12, 5, 10, 13. Ваша задача состоит в том, чтобы понять этот принцип и поместить следующие три числа - 15, 16, 17 - в нужные коробки.  Ответ: Числа 15 и 16 должны оказаться в коробке 3, а число 17 в коробке 2. Числа в коробке 1 все вычерчены с использованием только кривых линий. Числа в коробке 2 - с использованием только прямых линий. В начертаниях чисел, собранных в коробке 3, есть как прямые, так и кривые линии.

		Отцы и дети (Забавные головоломки)
		Джо попросил у отца 150 долларов, чтобы купить себе новый велосипед. Его отец-математик деньги дать просто так отказался, но предложил такую схему: Джо торгует на улице лимонадом, а в конце рабочего дня отец смотрит, сколько он заработал, и дает ему сумму, равную квадрату этой выручки. В первый день Джо наторговал на три доллара, и папа-математик думал, что легко отделался, пока хитрый сынок не доказал ему, что он неправ. Как Джо смог получить требуемую сумму в первый же день?  Ответ: Он дал отцу 300 центов (3$). В квадрате 300 центов дают 90000 центов или 900$
		Мудрецы развлекаются (Математические задачи)
		Решили как-то пять мудрецов поразвлечься. Взяли они десять колпаков, причем разноцветных - шесть красных, два белых и два синих, позвали независимую персону, он каждому должен одеть на голову по колпаку. Естественно, все это происходит в кромешной тьме и никто из мудрецов даже не знает, какие колпаки оказались лишними. Затем они выходят на свет, смотрят друг на друга, и кто первый определит, какой на нем колпак, тот и победит. Кто станет победителем, если на трех участниках красные колпаки, на одном - синий и на одном - белый? Ответ: Победителем станет один из мудрецов с красным колпаком. Для простоты будем называть мудрецов по цвету надетых на них колпаков. Один из трех красных думает: - Если б я был белый, тогда один из двух красных подумает "допустим, я синий,  тогда мой красный сосед сразу догадался бы, что он красный (видит два белых и два синих). Но так как он этого не делает, то я не синий. Но так как я вижу перед собой два белых, то следовательно я красный". Но эти два красных молчат, следовательно, я не белый. Точно также двое могли определить, что они красные, если бы я был синим. Но они все еще молчат, следовательно, я не синий тоже. Отсюда вывод - я красный Ангелы на елке (Математические задачи) Четыре ангела сидели на рождественской елке среди украшений. У двоих нимбы были синего цвета, у двоих – желтого. Ангелы не знают, у кого какой нимб, но знают, кто кого может видеть (см. ниже). Ни один из них не может видеть сидящих над ним, но каждый может слышать друг друга. Ангел A, сидящий на самой верхней ветке, может видеть ангелов B и C, которые сидят ниже него. Ангел B может видеть ангела C, который сидит веткой ниже. Ангел C не может видеть никого, потому что ангел D спрятался за деревом так, что никто не может видеть его, но и он сам никого не может увидеть. Кто из них может первым догадаться о цвете своего нимба и сказать об этом остальным? Ответ: Возможны 2 варианта: а) B и C имеют одинаковый цвет нимба. Тогда A, который видит их обоих, сообразит, какой цвет у него. б) B и C имеют нимбы разных цветов. Тогда A не сможет догадаться о своем нимбе и промолчит. А B по этому молчанию сделает вывод, что у него с C разные цвета. C он видит, поэтому свой цвет определит. Испытание на удачу (Математические задачи) Предположим, приговоренному к смерти предложили следующее испытание на удачу: Ему выносят две большие урны с двадцатью пятью белыми и двадцатью пятью черными шарами в каждой. Шары на ощупь и по весу неотличимы друг от друга. Далее ему завязывают глаза и предлагают выбрать наугад одну из урн и извлечь из нее шар. Черный шар означает смерть, белый - жизнь. Урны долго переставляли, а шары тщательно перемешали. Осужденный обратился к судье с просьбой: перед тем, как ему завяжут глаза, он по-своему переложит шары из урны в урну. Можно ли таким перекладыванием увеличить свои шансы на успех? Ответ:  В одной урне осужденный оставляет один белый шар, а в другой - все остальные. После этого его шансы на удачу равны почти 75% против 50% первоначальных. После того, как ему завязали глаза, он с вероятностью 50% мог выбрать урну с одним белым шаром. А если бы он выбрал другую ("не ту") урну, то у него все же было бы 49 из 99 (т.е. почти 50%) шансов извлечь из нее не черный, а белый шар. Турнир мудрецов (Математические задачи) Однажды король решил выяснить, кто из двух придворных мудрецов мудрее. Для этого он устроил турнир со следующими условиями: требовалось найти два наименьших целых положительных числа, заданных через их сумму и сумму их квадратов. Первому мудрецу сообщили сумму чисел, второму - сумму квадратов. Между мудрецами состоялся следующий диалог: - Пока что я не знаю этих чисел, начал первый мудрец. - Я тоже не в состоянии их вычислить, - признался его противник - А вот теперь я догадался! - вскричал первый и назвал правильный ответ. Что это были за числа? Ответ: Были выбраны числа 1 и 7. Разобраться в решении головоломки достаточно просто. Если сумма двух чисел превышает 3, то найти их не представляется возможным, о чем и сообщил первый мудрец своей первой фразой. Его противник также не сумел определить числа по сходной причине: несколько пар чисел, возведенных в квадрат, давали в сумме то число, которое было ему известно. Но много ли таких чисел? Возможны следующие равенства сумм квадратов: 50 = 52+52 = 12+72 65 = 42+72 = 12+82 85 = 62+72 = 22+92 125 = 52+102 = 22+112 и т.д. Наименьшую сумму чисел, возводимых в квадрат, дают 1 и 7. Каков возраст жильцов дома? (Математические задачи)  Агент по переписи Смит и агент по опросу населения Джонс одновременно подходят к дому № 900. Каждый хочет узнать возраст жильцов этого дома. Владелец дома (дело происходит в США) сообщает им свой возраст и говорит, что в доме живут еще три жильца, возрасты которых - три различных целых числа - при перемножении дают число, равное номеру дома. Владелец дома говорит, что он сообщит агенту по переписи возраст среднего из жильцов. Он шепотом сообщает этот возраст агенту по переписи, который после этого говорит, что он не в состоянии определить возраст двух других жильцов. Тогда владелец дома говорит, что он сообщает агенту по опросу сумму возрастов старшего из жильцов и одного из двух других. Он шепотом сообщает сумму агенту по опросу, который говорит, что он тоже не в состоянии отгадать возраст жильцов. Владелец дома начинает спрашивать их по очереди. В первый раз агент по переписи отвечает, что он не может определить эти возрасты. Агент по опросу говорит, что он тоже не может определить эти возрасты. Во второй раз агент по переписи говорит, что он по-прежнему не может определить возрасты. Агент по опросу говорит, что и он все еще не может этого сделать. В третий раз агент по переписи говорит, что он все еще не знает возрасты жильцов, а агент по опросу заявляет: "Теперь я знаю все возрасты". Каков возраст этих трех жильцов? (В условии задачи содержится вся необходимая информация для решения!) Ответ: Полное решение очень громоздкое, поэтому приведу только алгоритм. Так как возрасты – это целые числа и произведение их равно 900, то вначале раскладываем 900 на 3 целых множителя всеми возможными способами. Получается около 35 вариантов. Убираем те варианты, в которых присутствует два одинаковых множителя, так как по условия возрасты различны. Владелец дома сообщил агенту по переписи возраст среднего из жильцов, а агент не смог назвать возрасты остальных. Следовательно, из списка вариантов можно исключить те записи, в которых возраст среднего из жильцов встречается только один раз. Например, вариант 1,25,36. Значение 25 встречается только в этом варианте. Далее владелец дома сообщает агенту по опросу сумму возрастов старшего и одного из двух других, но агент опять не может назвать возрасты. Это означает, что из списка можно вычеркнуть варианты, в которых сумма возрастов старшего и одного из двух других жильцов встречается только один раз. Например, суммы 52 и 59 подходят только для варианта 2, 9, 50. И если бы возрасты были 2, 9, 50, то агент по опросу мог бы их назвать. Аналогично следующие три раза, когда владелец дома спрашивает агентов по очереди, вычеркиваем те варианты, которые встречаются только один раз. В итоге, когда владелец третий раз спрашивает агента по опросу, должны остаться только два варианта: 4, 9, 25 и 5, 9, 20. Так как агент смог назвать возрасты жильцов, то ответом будет вариант 5, 9, 20. Это следует из того, что сумма 34 для варианта 4, 9, 25 отпала на одном из предыдущих этапов, а сумма 29 подходит и для варианта 5, 9, 20. А вот сумма 25 для варианта 5, 9, 20 подходит только для него. Поэтому агенту была названа сумма 25, а ответом будут возрасты 5, 9 и 20. Тайный поклонник (Математические задачи) На парту Оли упал бумажный самолет с нарисованными красными сердечками. Оля развернула его и прочитала: "Ты - лучшая девочка в классе!" Она повернулась в сидящим за ней ребятам: Ивану, Сергею, Алексею. Все три мальчика покраснели. - Кто из вас делает мне такие комплименты? - спросила Оля. - Это Сергей! - сказал Иван. - Я ничего такого не делал! - сказал Сергей. - Не имею никакого представления, о чем ты говоришь! - сказал Алексей. Подруга Оли Маша ухмыльнулась: "Двое из них лгут!" Однако она не хочет больше ничего говорить. Кто является тайным поклонником Оли? Ответ: Алексей. Тест без текста (Математические задачи) Однажды прилежный студент готовился к тестированию. Для этого он разбирал варианты прошлогодних текстов. В каком-то тесте вопрос оказался плохо пропечатанным. Однако к нему имелись ответы: а) все, что ниже б) ничего из того, что ниже в) все, что выше г) одно из находящегося выше д) ничего из того, что выше е) ничего из вышерасположенного Какой ответ правильный? Ответ: Только ответ д) может быть правильным. Если утверждение а) правдиво, то правдиво и д) с указанием, что а) - нет. Следовательно, а) ложно. Если правдиво б), то в) ложно, а из него следует, что б) также ложно. Значит, б) ложно. Так как в) указывает, что б) правдиво, то из него вытекает, что в) ложно. Если г) правдиво, то правдивы а), или б), или в). Поскольку все они ложны, г) ложно. Если е) правдиво, то а), б), в), г), д) ложны, но это делает д) правдивым. Остается, что е) - ложно. В итоге только д) может оказаться правдивым, что не вызывает противоречий в системе ответов. Победители олимпиады (Математические задачи) Две соседние школы провели соревнование, какая из низ лучше выступит на районной математической олимпиаде. При этом соревновались отдельные классы (у каждого класса был свой соперник) и сами школы в целом. Каждый класс отправил на олимпиаду свою команду. Тот, кто получил грамоту, считался "успешно выступившим". Побеждал тот класс, в котором процент "успешно выступивших" был больше. Оказалось, что каждый класс одной школы победил своего соперника, а в целом победила другая школа. Как это могло случиться?  Ответ: Приведем немного надуманный пример, хорошо проясняющий суть дела. Пусть в олимпиаде участвовало всего по 2 класса от школы. В командах первой школы было соответственно 10 и 1 участник, а в командах второй школы, наоборот, 1 и 10 участников. В первой школе число "успешно выступивших" составило соответственно 1 и 1, во второй - 0 и 9. Социологический опрос (Математические задачи) Вы желаете провести социологический опрос среди школьников, чтобы оценить, какой процент из них употребляет наркотики. Понятно, что очень трудно добиться правдивого ответа от школьника, употреблявшего наркотики, какие бы гарантии вы ему ни давали. Предложите способ проведения такого опроса, дающий полные гарантии анонимности для отвечающих. Ответ: В одной из стран при проведении подобного опроса поступали следующим образом. Опрашиваемому давалась в руки небольшая коробочка с окошечком. Если коробку потрясти, то в окошечке появлялся либо белый либо черный шарик. Можно было убедиться, что шарики появляются случайным образом. На коробочке были написаны два вопроса. Первый - верно ли, что дважды два - четыре? Второй - тот, ради которого проводился опрос. В нашем случае: "Употребляли ли Вы наркотики?" Если появлялся белый шар, опрашиваемый отвечал на первый вопрос, если черный - на второй. Свои манипуляции с коробочкой опрашиваемый делает сам, никому не показывая. Понятно, что такая процедура позволяет, не боясь, отвечать "Да" при ответе на второй вопрос. Испытатель же знал вероятность появления того или иного шара, без труда определяя примерное число ответов на свой вопрос и число ответов "Да" среди них. Про школьников (Математические задачи)  В класе 35 учеников, из них 20 школьников занимаются в математическом круже, 11- в литературном, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько литераторов увлекаются математикой? Ответ: Всего 35 учеников. 10 кружки не посещают. Значит, посещают кружки 35-10=25 учеников. 25 учеников посещают кружки. 20 учеников занимаются в математическом кружке. Значит, только литературный кружок посещают 25-20=5 человек. В литературном кружке 11 человек. Лишь 5 из них посещают только литературный кружок. Значит, 11-5 = 6 человек-литераторов посещают ещё и математический кружок. Про депутатов (Математические задачи) В парламенте одной страны 150 депутатов. По крайней мере, один из них честен. В каждой паре депутатов хотя бы один продажен. Сколько всего честных депутатов в парламенте данной страны? Ответ: Доказываем от противного. Пусть честных депутатов больше одного, т.е. как минимум два. Берем эту пару. Оба честные, но по условию, в каждой паре депутатов хотя бы один продажен. Приходим к противоречию, т.е. наше предположение было неверно, и честный депутат только один. Поход в кино (Математические задачи) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино и в музей - 6 человек, а 2 человека не ходили ни в кино, ни в музей. Сколько человек нашего класса ходили в кино?  Ответ: Найдем, сколько человек НЕ ходило в кино. Это количество складывается из тех, кто ходил только в музей, и кто не ходил никуда. Только в музей ходило 23-6 = 17 человек. Никуда не ходили 2 человека. Т.е. 17+2 = 19 человек не ходили в кино. Соответственно, 30-19 = 11 человек ходили в кино. 2009 натуральных чисел (Математические задачи) По кругу написано 2009 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых четна. Ответ: Доказываем от противного. Предположим, что для любых двух соседних чисел их сумма будет нечетной. Это означает, что одно из них четное, а другое нечетное, т. е. четные и нечетные числа чередуются через одно. Зафиксируем одно произвольное число. Пусть оно будет четным. Его сосед слева будет нечетным, левый сосед соседа будет опять четным и т.д. по цепочке придем опять к зафиксированному числу. Т.к. число переходов равно 2009 (нечетное), то зафиксированное должно быть оказаться нечетным, что невозможно. Получаем противоречие, т. е. первоначальное предположение было неверным, и найдутся два соседних числа, сумма которых четна. Цифры на лбу (Математические задачи) Двух мудрецов предупредили, что завтра их поставят напротив друг друга и у каждого на лбу напишут цифру 1 или 2 (цифры могут быть одинаковыми). Каждый из них должен на бумажке написать свою предполагаемую цифру. Как действовать мудрецам, чтобы хотя бы один заведомо угадал свою цифру? (во время испытания нельзя разговаривать, подавать знаки и т.д.). Ответ: Мудрецы договариваются перед испытанием, что первый всегда пишет цифру, указанную на лбу у второго, а второй - цифру, противоположную той, которая на лбу у первого. Шарики (Математические задачи) На столе стоят три одинаковых ящика. В одном из них 2 черных шарика, в другом 1 черный и 1 белый шарик, в третьем 2 белых шарика. На ящиках написано: "2 белых", "2 черных", "черный и белый". При этом известно, что ни одна из записей не соответствует действительности. Как, вынув только один шарик, определить правильное расположение надписей? Ответ: Вынимаем шарик из коробки с надписью "черный и белый". Возможны два варианта: 1) шарик белый; тогда второй шарик в этой коробке тоже белый (иначе надпись была бы правильной); третий белый шарик может находится либо в коробке "2 белых", либо в коробке "2черных", т.е. опять два варианта: 1а) белый и черный шарики находятся в коробке "2 белых"; тогда в коробке "2 черных" находятся 2 черных шарика - невозможный вараинт; 2б) белый и черный шарики находятся в коробке "2 черных"; тогда в коробке "2 белых" находятся 2 черных шарика - единственно возможный вариант 2) шарик черный аналогично пункту 1) Собственно ответ: Вытаскиваем шарик из коробки с надписью "белый и черный". Если шарик белый, то: в коробке "белый и черный" - 2 белых шарика; в коробке "2 белых" - 2 черных шарика; в коробке "2 черных" - белый и черный шарики Если шарик черный: в коробке "белый и черный" - 2 черных шарика; в коробке "2 белых" - белый и черный шарики; в коробке "2 черных" - 2 белых шарика 3      конверта (Математические задачи) Вы имеете 3 конверта, один из которых нужно немедленно съесть. В каждом конверте содержится листок с двумя утверждениями. В одном конверте оба утверждения истинны, в другом оба ложны, а в третьем одно ложно и одно истинно. Вот эти утверждения: Конверт 1: 1. Этот конверт есть не надо 2. Обязательно нужно съесть второй конверт Конверт 2: 1. Не нужно есть первый конверт 2. Ешьте третий конверт Конверт 3. 1. Не стоит есть этот конверт 2. Смело съедайте первый конверт Так какой конверт нужно съесть? Ответ:  Нужно съесть третий конверт. Проколотые шины (Математические задачи) Кто-то проколол шины на машине Ивана Петровича. Рядом с машиной в течение дня было замечено три мальчишки: Андрей, Боря и Вася. Галя, начинающий детектив из 14-й квартиры, задала ребятам несколько вопросов. Андрей сказал: - Это сделал Боря, я уверен. Боря сказал: - Ты что! Это не я! Вася сказал: - Это сделал кто-то из этих двоих, а я к этому непричастен! Боря сказал: - Это Вася как раз шины-то проткнул! Андрей сказал: - Мне кажется, ты ошибаешься. Вася сказал: - Похоже, это всё-таки Андрей. Отличник Дима, проходя мимо, заметил: - Один из этих мальчиков отвечал правду, другой всё время лгал, а третий один раз солгал, а другой раз сказал правду. Помогите Гале рассудить всё, если известно, что Дима сказал правду. Ответ: Это сделал Боря. Андрей оба раза сказал правду, Боря оба раза солгал, а Вася был прав в первом высказывании и неправ во втором.